\documentclass[a4paper, 11pt]{article}

\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{textcomp}
%\usepackage{pscyr}

\begin{document}

\section*{Программа курса Е.\,Г. Дьяконова
``Дополнительные главы теории уравнений в~частных производных'', 
2004\textfractionsolidus2005}

\begin{enumerate}

%1.
\item Вариационный принцип Дирихле в~предгильбертовом 
пространстве $V$ и~пример Адамара.

%2.
\item Вариационный принцип Лагранжа в~механике сплошных сред;
неравенство Стек\-лова~--- Фридрихса; фундаментальность минимизирующей
последовательности.

%3.
\item Примеры эллиптических вариационных задач; уравнения Эйлера;
главные и~естественные краевые условия; неоднородные среды 
и~условия сопряжения.

%4.
\item Вариационные задачи на составных многообразиях.

%5.
\item Вариационные задачи в~конечномерных энергетических
пространствах $\hat{H}_{h}$; сплайны.

%6.
\item Корректность вариационных задач в~гильбертовом 
пространстве $H$; эквивалентные формулировки.

%7.
\item Метод Рэлея~--- Ритца; априорные и~апостериорные оценки;
корректность получаемых задач; спектрально эквивалентные операторы
$L_{h}$ и~$\Lambda_{h}$.

%8.
\item Теорема Вишика (Лакса~--- Мильграма) о~корректности линейного
операторного уравнения; проекционные методы; оценки погрешности.

%9.
\item Уравнения с~нелинейными операторами Вишика.

%10.
\item Число обусловленности оператора (линейного и~нелинейного);
числовая характеристика, корректности операторных задач 
в~энергетическом пространстве.

%11.
\item Компактные операторы; понятие о~топологическом принципе
Лере~--- Шаудера; локализация решений.

%12.
\item Предэнергетические пространства Соболева $V_{p}^{l}(\Omega)$;
пополнения по Xаусдорфу метрического и~предгильбертова
пространства.

%13.
\item Обобщенные производные и~их свойства; замкнутость оператора
дифференцирования.

%14.
\item Полные пространства Соболева $W_{p}^{l}(\Omega)$ 
и~$H^{l}(\Omega)$; сплайны в~$H^{l}(\Omega)$.

%15.
\item Понятие о~теоремах продолжения и~об аппроксимациях при помощи
усреднений; замены переменных.

%16.
\item Понятие о~теоремах вложения; компактность вложения
$H^{1}(\Omega)$ в~$L_2(\Omega)$ и~$H^{l}(\Omega)$ $(l \geqslant 2)$ 
в~$H^{1}(\Omega)$.

%17.
\item Теорема о~следе функции из $H^{1}(\Omega)$; компактность
оператора следа; пространства $H^{1}(\Omega,\Gamma_{0})$ и
$H^{1}_{0}(\Omega)$; формулы интегрирования по частям и
Гаусса~--- Остроградского.

%18.
\item Теорема об эквивалентных нормировках в~$H^{m}(\Omega)$; общий
случай неравенств Пуан\-каре~--- Стеклова~--- Фридрихса.

%19.
\item Обобщенное решение смешанной краевой задачи для уравнения
Пуассона; случай составных многообразий.

%20.
\item Обобщенные решения основных краевых задач для эллиптических
уравнений 2-го порядка.

%21.
\item Теоремы Фредгольма в~энергетических пространствах для
эллиптических уравнений 2-го порядка.

%22.
\item Симметричные спектральные задачи с~эллиптическими операторами;
при\-ме\-ни\-мость теоремы Гильберта~--- Шмидта.

%23. 
\item Вариационные свойства собственных чисел (принцип
Куранта~--- Фишера теорема Вейля; методы Рэлея~--- Ритца; раствор
подпространств).

%24.  
\item Сильноэллиптические по Вишику системы; вариационные задачи
теории упругости; неравенство Корна~--- Фридрихса.

%25.  
\item Нелинейные задачи с~ограничениями и~вариационные неравенства;
задача Синьорини; метод штрафа.

%26. 
\item Существующие варианты теории обобщенных решений.

%27.  
\item Вариационные и~операторные задачи в~энергетических
пространствах на составных многообразиях (задачи на структурах).

%28.  
\item Корректность дискретной по времени начально-краевой задачи
для уравнения теплопроводности.

%29.   
\item Обобщенные решения начально-краевой задачи для уравнения
теплопроводности; задачи с~памятью.

%30.  
\item Обобщенные решения смешанной начально-краевой задачи для
общих линейных параболических уравнений.

%31.  
\item Разделение переменных в~задачах теплопроводности;
стабилизация решений.

%32.  
\item Нелинейные задачи теории лучистой теплопроводности и~примеры
автомодельных решений (тепловых волн).

%33.  
\item Тепловые режимы с~обострениями.

%34. 
\item Обобщенное решение начально-краевой задачи 
для волнового уравнения.

%35.  
\item Обобщенное решение начально-краевой задачи 
для линейных гиперболических уравнений.

%36. 
\item Разделение переменных для волнового и~гиперболических
уравнений. Волны Рэлея. 

%37.  
\item Примеры нелинейных гиперболических задач.

%38.  
\item Вариационные задачи гидродинамики в~пространствах типа Хопфа.

%39. 
\item Вариационные и~операторные задачи с~линейными ограничениями;
принцип Лагранжа и~строго седловые операторы.

%40. 
\item Свойства нормально обратимых операторов; теоремы корректности
и~теоремы возмущения для задач со строго седловыми операторами.

%41.  
\item Регуляризация некоторых типов плохо обусловленных задач;
задачи с~сильными скачками в~коэффициентах.

%42.  
\item Задачи типа Стокса; нормальная обратимость оператора
дивергенции; пространства с~усиленной дивергенцией; улучшение
корректности.

%43. 
\item Нелинейные стационарные системы Навье~--- Стокса. 
Теорема Ладыженской.

%44. 
\item Нелинейные нестационарные уравнения газовой динамики; 
условия на ударных волнах.

%45.  
\item Задачи в~неоднородных периодических средах 
и~метод усреднения.
\end{enumerate}

\begin{thebibliography}{9}

\bibitem{dyakonov}
	Дьяконов Е.\,Г. 
	{\itshape Энергетические пространства и~их применения.}
	М.: МГУ, ф-т ВМК, 
	{\bfseries 2001.}~--- 206~с.

\bibitem{ladyzhenskaya}
	Ладыженская О.\,А.
	{\itshape Краевые задачи математической физики.}
	М.: Наука, 
	{\bfseries 1973.}~--- 404~с.

\bibitem{lione}
	Лионе Ж.\,Л. 
	{\itshape Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.}
	М.: Мир, 
	{\bfseries 1972.}~--- 587~с.

\bibitem{mihailov}
	Михайлов В.\,П. 
	{\itshape Дифференциальные уравнения в~частных производных.}
	М.: Наука, 
	{\bfseries 1983}~--- 424~с.

\end{thebibliography}

\section*{Основные темы}

\begin{itemize}

\item задачи в~гильбертовом пространстве (1--11);
\item элементы теории пространств Соболева (12--18);
\item стационарные задачи (19--27);
\item задачи параболического типа (28--33);
\item задачи гиперболического типа (34--37);
\item задачи с~линейными ограничениями (типа Стокса) (38--45).

\end{itemize}

\end{document}
